Conjunto de Vitali

En teoría de la medida, un conjunto de Vitali es un ejemplo básico de conjunto de números reales que no es Lebesgue-medible. El teorema de Vitali es el teorema de existencia de dichos conjuntos. Es así llamado en honor a Giuseppe Vitali.

A pesar del nombre, hay muchos conjuntos de Vitali. Su existencia se demuestra usando el axioma de elección, lo que lo hace un resultado no constructivo: es imposible describir explícitamente un conjunto de Vitali.

La importancia de los conjuntos no medibles

Ciertos conjuntos tienen un "tamaño" definido; por ejemplo, el intervalo [0, 1] se asume con longitud 1, y en general, un intervalo [a, b], con ab, se asume con longitud ba. Si se piensa en tales intervalos como barras de metal, tendrán asimismo masas definidas. Si la barra [0, 1] pesa 1 kilo, la [3, 9] pesará 6 kilos. El conjunto [0, 1] ∪ [2, 3] está compuesto por dos barras de 1 kilo cada una, con lo que su peso total será de 2 kilos; en términos matemáticos, su longitud total es de 2.

Aquí surge una pregunta natural: si E es un subconjunto arbitrario de la recta real, ¿necesariamente tendrá una longitud? Como ejemplo, uno se puede preguntar por la longitud del conjunto de números racionales. Como están finamente esparcidos por la recta real, cualquier respuesta podría parecer razonable a primera vista.

La teoría matemática para responder a estas cuestiones de manera correcta y coherente resulta ser la teoría de la medida. En este marco, la medida de Lebesgue, que asigna el peso ba al intervalo [a, b], le asignará un peso de 0 al conjunto de los racionales (de hecho, todo conjunto numerable tendrá longitud 0). Todo conjunto que tenga un peso bien definido se dice medible. De la construcción de la medida de Lebesgue (por ejemplo, usando una medida exterior), sin embargo, no es evidente que haya o no conjuntos no medibles.

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