Conjunto de Cantor

De izquierda a derecha, sucesivos pasos de la construcción geométrica del conjunto de Cantor. Para ilustrar la definición numérica se destacan cuatro puntos del conjunto (0, 2/3, 1 y 1/4) y su expresión en base 3.

El conjunto de Cantor, llamado así por ser aporte de Georg Cantor[1] en 1883, es un destacado subconjunto fractal del intervalo real [0, 1], que admite dos definiciones equivalentes:

  • la definición numérica: es el conjunto de todos los puntos del intervalo real [0,1] que admiten una expresión en base 3 que no utilice el dígito 1.
  • la definición geométrica, de carácter recursivo, que elimina en cada paso el segmento abierto correspondiente al tercio central de cada intervalo.

Además de una curiosidad matemática, contradice una intuición relativa al tamaño de objetos geométricos: es un conjunto de medida nula, pero no es vacío ni numerable.[2]

Lo que Cantor no sabía era que este conjunto ya había sido estudiado en 1875 por un matemático dublinés, Henry John Stephen Smith (1826-1883). Pero como Smith falleció y su descubrimiento era prácticamente desconocido, fue Cantor el que quedó asociado a este conjunto.[3]

Construcción geométrica

Se construye de modo recursivo dando los siguientes pasos:

  • El primer paso es tomar el intervalo [0, 1].
  • El segundo paso es quitarle su tercio interior, es decir el intervalo abierto (1/3; 2/3).
  • El tercero es quitar a los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores, es decir los intervalos abiertos (1/9; 2/9) y (7/9; 8/9).
  • Los pasos siguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.

La figura muestra las siete primeras etapas:

Conjunto de Cantor.png


El conjunto de Cantor es el conjunto de los puntos restantes: entre ellos, es claro que los extremos de cada subintervalo pertenecen 0 y 1, 1/3 y 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 y 8/9, 1/27..., hay una infinidad de puntos: los 1/3n están todos incluidos, con n describiendo los naturales. Pero hay mucho más, por ejemplo 1/4 es un elemento del conjunto de Cantor.

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