Conjunto clopen

En topología, un conjunto clopen —del inglés closed-open set, literalmente 'conjunto cerrado-abierto' o 'conjunto cerrabierto'—, en un espacio topológico es un conjunto que es a la vez abierto y cerrado.

Ejemplos

En cualquier espacio topológico X, el conjunto vacío y todo el espacio X son ambos clopen.

Ahora considere el espacio X que consiste en la unión de los dos intervalos [0, 1] y [2, 3]. La topología en X se hereda como la topología del subespacio de la topología ordinaria en la recta real R. En X, el conjunto [0, 1] es clopen, al igual que el conjunto [2, 3]. Esto es un ejemplo absolutamente típico: siempre que un espacio se componga de un número finito de componentes conexos disjuntos de esta manera, los componentes serán clopen.

Como ejemplo menos trivial, considérese el espacio Q de todos los números racionales con su topología usual, y el conjunto A de todos los números racionales más grandes que la raíz cuadrada de 2. Usar el hecho de que √2 no está en Q, se puede demostrar fácilmente que A es un subconjunto clopen de Q. (nótese también que A no es un subconjunto clopen de la recta real R; no es ni abierto ni cerrado en R.)

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