Conjunto cerrado

En topología, un conjunto cerrado es el complemento de uno abierto.

Una propiedad importante de los conjuntos cerrados es que toda sucesión convergente definida en un conjunto cerrado converge a un valor del conjunto.

Definición

Más formalmente, dado un espacio topológico (X,T), F es un conjunto cerrado en X si y sólo si X\F es un elemento de la topología T, es decir, si X\F es abierto.

La noción de conjunto cerrado se define arriba en términos de conjuntos abiertos, un concepto que tiene sentido para los espacios topológicos, así como para otros espacios que lleven estructuras topológicas, tales como espacios métricos, variedades diferenciables, espacios uniformes, y espacios de gauge.

Una caracterización alternativa de conjuntos cerrados es posible vía sucesiones y redes. Un subconjunto F de un espacio topológico (X,T) es cerrado en X cuando y solo cuando cada límite de cada red de elementos de A también pertenece a F. En un espacio que satisface el primer axioma de numerabilidad (tal como un espacio métrico), es suficiente considerar solamente las sucesiones, en vez de todas las redes. Una importancia de esta caracterización es que puede ser utilizada como definición en el contexto de los espacios de convergencia, que son más generales que los espacios topológicos. Nótese que esta caracterización también depende del espacio ambiente X porque el que una secuencia o una red converja o no en X depende de qué puntos están presentes en X.

Una manera equivalente de definir a un conjunto cerrado es diciendo que «un conjunto es cerrado si y sólo si es igual a su clausura topológica», que es el conjunto cerrado más pequeño que contiene a un conjunto. Hay un comportamiento dual entre los abiertos y los cerrados de una topología T:

  • la unión de una cantidad arbitraria de abiertos de T es abierta; la intersección de una cantidad cualquiera de cerrados es cerrada
  • la intersección de una cantidad finita de abiertos de T es abierta; la unión de una cantidad finita de cerrados es cerrada.
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