Conjunto abierto

Un conjunto abierto, en topología y otras ramas de las matemáticas, es un conjunto en el que todos y cada uno de sus elementos están rodeados por elementos que también pertenecen al conjunto;[2] Se puede generalizar el concepto de ‘bola’ como los elementos que están muy cerca de otro en cualquier dirección, rodeándolo, pero para ello es necesario definir una función distancia que permita evaluar la lejanía o cercanía entre los objetos del conjunto, constituyendo así un espacio métrico —un conjunto más una definición de distancia en él—.

DEFINICIÓN:
Sea un espacio métrico. Se dice que es un conjunto abierto si para todo existe una bola abierta .[3]

Como ejemplo típico se puede evaluar el intervalo abierto (0, 1) en los números reales (), que se corresponde con todos los números entre 0 y 1 pero sin incluir estos, es decir, todos los números reales x con 0 < x < 1. Pues bien, intuitivamente se dice que es un conjunto abierto porque, para cualquier número x que pertenezca al conjunto, por mucho que pretendamos acercarnos a la frontera del conjunto —0 y 1—, siempre hay más elementos entre dicho número x y la frontera. Por ejemplo, si evaluamos el punto 0.9, entre este y el 1 está el 0,99, por ejemplo; al igual que entre 0,99 y 1 está el 0,999; y así sucesivamente. Siempre hay más números entre cualquier elemento del conjunto y la frontera, y es por tanto ‘abierto’. Sin embargo, en el conjunto cerrado [0, 1] entre el elemento 1 y la frontera del intervalo —que también es 1— no existen más elementos, por lo que se deduce que es en conjunto ‘cerrado’.

O valorando la explicación más rigurosa, el espacio métrico en el caso del intervalo (0, 1), denotado como (, d), es el constituido por:

  • Los elementos que pertenecen a los números reales (), esto es, desde a .
  • La función distancia que, usando la distancia euclídea (d), se define como el valor absoluto de la resta .

De esta manera en todo número x del conjunto (0, 1) puede centrarse una bola que está incluida dentro del conjunto; puesto que en la recta real una bola abierta centrada en un número x se corresponde con otro intervalo de la forma (x - ε, x + ε), donde epsilon es una cantidad muy pequeña, todo lo que se quiera. Así, una bola centrada en 0,9 estará dentro del conjunto, así como en 0,99 o en 0,999999, pues siempre habrá un epsilon de separación entre el punto y la frontera. Por el contrario en el conjunto cerrado [0, 1], una bola centrada en el elemento 1 quedará parcialmente fuera del conjunto.

Observe que el que un conjunto dado U sea abierto depende del espacio circundante, el "cuarto de juegos". Por ejemplo, el conjunto de los números racionales entre 0 y 1 (exclusivo) es abierto en los números racionales, pero no es abierto en los números reales. Observe también que "abierto" no es el contrario de cerrado. Primero, existen conjuntos que son ambos abiertos y cerrados, llamados conjuntos clopen, como por ejemplo el conjunto de los números racionales más pequeños que √2 en los números racionales. Segundo, hay conjuntos que no son abiertos ni cerrados, como por ejemplo (0, 1] en R.

Definiciones

El concepto de conjunto abierto se puede formalizar con varios grados de generalidad, entre ellos:

Geometría

Un subconjunto U perteneciente al conjunto se llama abierto cuando todos los puntos P de U son interiores.

Espacio euclídeo

Un subconjunto U de un espacio euclídeo n-dimensional En se llama abierto si, dado cualquier punto x en U, existe un número real ε > 0 tal que, dado cualquier punto y en En cuya distancia euclidiana de x sea más pequeña que ε, y también pertenece a U. De forma equivalente, U es abierto si cada punto en U tiene un entorno contenido en U.

Intuitivamente, la ε mide el tamaño de los "meneos permitidos".

Un ejemplo de un conjunto abierto en E2 (en un plano) sería todos los puntos dentro de un círculo de radio r, que satisfacen la ecuación .

Porque la distancia de cualquier punto p en este conjunto al borde del conjunto es mayor que cero: , podemos fijar el ε a la mitad de esta distancia, que significa que el ε es también mayor de cero, y todos los puntos que están a una distancia ε de p estén también en el conjunto, satisfaciendo así las condiciones para un conjunto abierto.

Espacios métricos

Un subconjunto U de un espacio métrico (M, d) se llama abierto si, dado cualquier punto x en U, existe un número real ε > 0 tales que, dado cualquier punto y en M con d(x, y) < ε, y también pertenece a U. (equivalente, U es abierto si cada punto en U tiene una vecindad contenida en U)

Esto generaliza el ejemplo euclidiano del espacio, puesto que el espacio euclidiano con la distancia euclidiana es un espacio métrico.

Espacios topológicos

En espacios topológicos, el concepto de apertura se toma como fundamental. Uno comienza con un conjunto arbitrario X y una familia de subconjuntos de X que satisfacen ciertas propiedades que cada noción "razonable" de apertura se supone tener. (específicamente: la unión de conjuntos abiertos es abierta, la intersección finita de conjuntos abiertos es abierta, y en particular el conjunto vacío y X mismo son abiertos.) Tal familia T de subconjuntos se llama una topología en X, y se llama a los miembros de la familia los conjuntos abiertos del espacio topológico (X, T).Un conjunto se llama cerrado si su complemento en X es abierto.

Definición

Sea X un conjunto no vacío y T una familia de subconjuntos de X. T es una topología en X si cumple los siguientes axiomas.

  • X y el conjunto vacío {} están en T.
  • La intersección de un número finito de miembros de T está en T.
  • La unión de cualquier número de elementos de T está en T.

Con estas precisiones, al par (X,T) se denomina espacio topológico y a los miembros de T se los nombra abiertos en el espacio topológico (X,T). Ver el libro Topología de un pool de autores de la Facultad de Ciencias de la Universidad Complutense.[4]

Esto generaliza la definición métrica del espacio: si se comienza con un espacio métrico y define conjuntos abiertos como antes, entonces la familia de todos los conjuntos abiertos formará una topología en el espacio métrico. Cada espacio métrico es por lo tanto de una manera natural un espacio topológico. (Hay sin embargo espacios topológicos que no son espacios métricos).

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