Conjetura de los números primos gemelos

Dos números primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro más dos unidades. Así pues, los números primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos. Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 ó 41 y 43.

La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Dado que es una conjetura, está todavía sin demostrar.

Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo.

La conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números. La mayoría de matemáticos cree que la conjetura es cierta, y se basan en evidencias numéricas y razonamientos heurísticos sobre la distribución probabilística de los números primos.

En 1849, Alphonse de Polignac formuló una conjetura más general según la cual, para todo número natural k existen infinitos pares de primos cuya diferencia es 2·k. El caso k=1 es la conjetura de los números primos gemelos.

Resultados parciales

En 1940, Erdös mostró que existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que p - p < c· ln(p), donde p denota el número primo que sigue a p. Este resultado fue mejorado sucesivamente: en 1986 Maier mostró que podía emplearse una constante c < 0,25. Daniel Goldston, János Pintz y Cem Yildirim lograron un gran avance en 2005 al probar que el resultado es válido para toda constante c>0.

En 1973, Jing-run Chen publicó una prueba que existen infinitos números primos p tales que p+2 es un producto de, a lo más, dos factores primos. Para conseguir este resultado se basó en la llamada teoría de cribas, y consiguió tratar la conjetura de los primos gemelos y la conjetura de Goldbach de forma similar.

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