Congruencia (teoría de números)

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural , llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación

que se expresa diciendo que es congruente con módulo . Las siguientes expresiones son equivalentes:

  • es congruente con módulo
  • El resto de entre es el resto de entre
  • divide exactamente a la diferencia de y
  • se puede escribir como la suma de y un múltiplo de

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo y cada entero no divisible por tenemos la congruencia:

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por y , es decir puede ser cualquier entero de las sucesiones y . Contrariamente la congruencia , no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna:

  • La congruencia para un módulo fijo es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades:
  1. reflexividad:
  2. simetría: si entonces también
  3. transitividad: si y entonces también .
  • Si es coprimo con y , entonces también es coprimo con .
  • Si y es un entero entonces también se cumple
  • Si además es coprimo con , entonces podemos encontrar un entero , tal que

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

donde por definición ponemos .

  • Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:
y

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

y
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