Conexión de Galois

En matemática, especialmente en la teoría del orden, una conexión de Galois es una correspondencia particular entre dos conjuntos parcialmente ordenados (abreviado "poset" en inglés). Las conexiones de Galois generalizan la correspondencia entre subgrupos y subcuerpos investigada en la teoría de Galois. Tienen aplicación en varias teorías matemáticas.

Una conexión de Galois es bastante más débil que un isomorfismo entre los posets implicados, pero cada conexión de Galois da lugar a un isomorfismo de ciertos sub-posets, como explicaremos más adelante.

Al igual que la teoría de Galois, las conexiones deben su nombre al matemático francés Évariste Galois.

Definición

Supónganse dos conjuntos parcialmente ordenados (A, ≤) y (B, <=). Una conexión de Galois entre estos posets consiste en dos funciones monótonas: F : A → B y G : B → A, tales que para todo a en A y b en B, tenemos

En esta sitaución se llama a F adjunto inferior de G y a G, adjunto superior de F. Esta terminología relaciona las conexiones a la teoría de categorías que se comenta luego. Tal como se detallará, cada parte de una conexión de Galois determina unívocamente la otra correspondencia. Al ver dos funciones que forman una conexión de Galois como dos especificaciones del mismo objeto, es conveniente señalar un par de adjuntos inferior y superior correspondientes como f y f, respectivamente. Observe que el asterisco se pone sobre el símbolo de la función para señalar el adjunto inferior.

Definición alternativa

La definición anterior es común a muchas aplicaciones actualmente, y prominente en las teorías de retículos y de dominios. Sin embargo, originalmente se derivó una noción ligeramente diferente en la teoría de Galois. En esta definición alternativa, una conexión de Galois es un par de funciones antítonas (que invierten el orden), F : A → B y G : B → A entre los posets A y B, de manera que

Ambas nociones de una conexión de Galois siguen presentes en la literatura. En Wikipedia el término conexión (monótona) de Galois se referirá siempre a una conexión de Galois en el primer sentido. Si se aplica la definición alternativa, se usarán los términos conexión de Galois antítona o conexión de Galois inversora.

En realidad, las implicaciones de ambas definiciones son bastante similares, ya que las conexiones antítonas de Galois entre A y B son simplemente conexiones monótonas de Galois entre A y el orden dual Bop de B. Todas las afirmaciones siguientes sobre las conexiones de Galois se pueden convertir fácilmente, por tanto, en afirmaciones sobre las conexiones antítonas.

Observe sin embargo, que no tiene sentido hablar de adjuntos inferior y superior de una conexión antítona de Galois: la situación es completamente simétrica.

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