Conexión de Cartan

En matemática, la construcción de la conexión de Cartan en geometría diferencial es una generalización amplia del concepto de la conexión, basado en una comprensión del papel del grupo afín en el acercamiento usual. Fue desarrollado por Élie Cartan, como parte (y como manera de formular) su método de triedro móvil. Véase también formalismo de Cartan

Definiciones casi formales para fibrados vectoriales

Una conexión en un fibrado vectorial es una manera de "distinguir" secciones del fibrado a lo largo de vectores tangente. Sea ζ: E →→ B un fibrado vectorial sobre una variedad diferenciable B con un espacio vectorial F de dimensión n como fibra. Denotemos por uv una sección de un fibrado vectorial, el resultado de la diferenciación de la sección del fibrado vectorial v a lo largo del campo vectorial tangente u. Para ser una conexión debe satisfacer las identidades siguientes:

(i) Linealidad y
(ii) Regla de Leibniz y para cualquier función diferenciable

el ejemplo más simple: si el ζ: E = F × B → B es la proyección, es decir ζ es un fibrado vectorial trivial, entonces cualquier sección se puede describir por una función diferenciable v: B → F. Por lo tanto uno puede considerar la conexión trivial uv = ∂v/∂u. Si uno tiene dos conexiones y ∇' en el mismo fibrado vectorial entonces la diferencia ω(u, v) = ∇uv-∇'uv depende solamente de los valores de u y v en un punto, una 1-forma en B a valores en el Hom(F, F); es decir el ω(u, -) ∈ Hom(F, F) y ω se puede describir como una matriz n × n de uno-formas. En particular uno puede elegir una trivialización local del fibrado vectorial y tomar ∇' como conexión trivial correspondiente, entonces ω da una descripción local completa de .

Si G ∈ GL(F) es el grupo estructural del fibrado vectorial entonces la forma ω es una 1-forma con valores en , el álgebra de Lie de G. En particular para el fibrado tangente de una variedad de Riemann tenemos O(n) como grupo estructural y para la forma ω para la conexión de Levi-Civita es una forma con valores en (n), el álgebra de Lie de O(n) (que se pueda pensar como matrices antisimétricas en una base ortonormal, o 2-vectores del fibrado tangente). Esta forma, ω, describe de una manera no invariante; depende de la elección de la trivialización local. La construcción siguiente extrae la información invariante de ω.

La 2-forma siguiente con valores en Hom(F, F) se llama forma de curvatura Ω = dω + ω ∧ ω,

donde d es la derivada exterior y es producto exterior (cuña) (puede parecer un poco extraño aplicar el producto exterior a las formas con valores en Hom(F, F), pero trabaja de la misma manera). La forma de curvatura proporciona la descripción local completa de la conexión hasta una transformación de gauge.

Una vez más, si el G ∈ GL(F) es el grupo de estructura de un fibrado vectorial entonces la forma Ω es una 2-forma con valores en , el álgebra de Lie de G. Para el fibrado tangente de una variedad diferenciable de Riemann tenemos O(n) como el grupo de estructura y Ω es una 2-forma con valores en (n) (que se puede pensar en como matrices antisimétricas en una base ortonormal). Esta forma Ω es una descripción equivalente del tensor de curvatura.

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