Condicional material

El condicional material, conocido como condicional, condicional funcional de verdad, o imprecisamente como implicación material, es una conectiva lógica que conecta dos proposiciones. En lógica proposicional, el condicional material es una función de verdad binaria, que devuelve falso cuando B es falsa siendo A verdadera, y devuelve verdadero en cualquier otro caso. En lógica de predicados, puede ser visto como una relación de subconjuntos entre la extensión de predicados (posiblemente complejos).

En el lenguaje natural, el condicional se expresa por medio de palabras como las siguientes:

  • Si llueve, entonces voy al cine.
  • Voy al cine si llueve.
  • Cuando llueve, voy al cine.
  • Si A, entonces B.

El condicional material intenta ser la versión formal de estas expresiones del lenguaje natural, y en orden descendente de acuerdo a la frecuencia de uso, se denota formalmente como:[ cita requerida]

(en notación polaca)

donde A y B son proposiciones cualesquiera. Las variables A y B se conocen respectivamente como el antecedente y el consecuente del condicional.

Es importante no confundir el concepto de condicional material con el de implicación lógica. La confusión es exacerbada porque los símbolos y son imprecisamente usados como expresiones equivalentes por muchos, cuando realmente no lo son. Aunque en conversaciones del día a día la diferencia no tiene mayor impacto, la diferencia sutil entre ambos conceptos es significativa en el entendimiento correcto de la lógica proposicional.

Definición

El condicional material es una función de verdad que puede tomar dos valores de verdad (por lo general los valores de proposiciones):

  • devuelve falso cuando el primer valor es verdadero y el segundo falso,
  • y devuelve verdadero en cualquier otro caso.

En otras palabras, la tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

Como se ve, el condicional material devuelve 0 (falso) sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. En todos los demás casos, devuelve 1 (verdadero).

Propiedades formales

Algunas de las propiedades formales del condicional material son:

  • Distributividad:
  • Transitividad:
  • Idempotencia: es siempre verdadero.
  • Preservación de la verdad: La interpretación en virtud del cual todas las variables se les asigna un valor de verdad de «verdadero» produce un valor de verdad de «verdadero» como resultado del condicional material.

En lógica clásica es equivalente a , y por las leyes de De Morgan equivalente a .[1] Sin embargo, en lógica minimal (y por tanto también en lógica intuicionista) sólo implica ; y en lógica intuicionista (pero no en lógica minimal) implica .

Correlación con la teoría de conjuntos

Diagrama de Venn del condicional material.

En teoría de conjuntos, la noción equivalente del condicional material es:

es decir, es la unión del complementario de A y del conjunto B, o equivalentemente, el complementario de A menos B.

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