Completar el cuadrado

Animación describiendo el proceso de completar el cuadrado.

El procedimiento de completar el cuadrado, también llamado completación de cuadrados, es un recurso de álgebra elemental para convertir la expresión de un trinomio de segundo grado, desde su forma ordinaria:

a otra equivalente de la forma:[1]

o binomio de segundo grado en (x+h). El resultado conlleva el cuadrado de un binomio en x más una expresión independiente.

Procedimiento para completar el cuadrado

En general, los procedimientos para completar el cuadrado consisten en construir, mediante operaciones algebráicas, un trinomio cuadrado perfecto a partir de uno que no lo es, y luego reducir el resultado a un binomio al cuadrado más (o menos) una constante.

Cuando se tiene un trinomio cuadrado perfecto, éste se puede factorizar directamente a un binomio al cuadrado. Por ejemplo, se puede factorizar como .

Si no se tiene un trinomio cuadrado perfecto, como por ejemplo , éste se puede manipular algebráicamente para construirlo. Nótese que el término independiente 28 es igual a 25 + 3, Así que el trinomio dado es igual a , con lo que tenemos un trinomio cuadrado perfecto más 3, que se puede reducir como . Esto que acabamos de hacer es uno de los procedimientos para completar el cuadrado.

Abajo se describen en detalle operaciones algebráicas para completar el cuadrado con cualquier trinomio cuadrado dado.

Trinomio mónico x2 + bx + c

Descripción Procedimiento
Simbólico
Ejemplo
Dado un polinomio de la forma
Dividimos entre 2 el coeficiente que acompaña a x,
y sumamos y restamos el cuadrado del resultado
Ahora tenemos un trinomio cuadrado perfecto
El cual se puede reducir a un binomio al cuadrado,
con los términos x y b/2
Simplificando

Así,  

donde         y    

Polinomio de la forma ax2 + bx + c

Descripción Procedimiento
Simbólico
Ejemplo
Dado un polinomio de la forma
Sacamos factor común a, de los términos con x
Dividimos entre 2 el coeficiente que acompaña a x,
y sumamos y restamos el cuadrado del resultado
Ahora tenemos construido un trinomio cuadrado perfecto
Multiplicamos por el factor común a, al término que
acabamos de restar, , para sacarlo del paréntesis
Quedando dentro del paréntesis el trinomio cuadrado perfecto
El cual se puede reducir a un binomio al cuadrado,
con los términos x y el coeficiente de x dividido entre 2.
Que simplificando queda

Así,    

donde         y    

Significado geométrico de h y k

En la función
h = -2 y k = 1, así, el vértice de la parábola está en las coordenadas (-h, k) = (2, 1)

En la función cuadrática escrita como:

-h y k son respectivamente las coordenadas x y y del vértice de la ecuación cuadrática o parábola. Si en la ecuación cuadrática, a > 0, la parábola abre hacia arriba y k es el punto más bajo de la parábola, y si a < 0, la parábola abre hacia abajo y k es el punto más alto de la parábola.

En general, h es una transformada horizontal y k es una transformada vertical, por lo que la parábola se desplazará, en el plano cartesiano, horizontalmente y verticalmente de acuerdo a los valores de h y k. Con h y k iguales a cero, tenemos la parábola con el vértice en las coordenadas (0, 0). La parábola se desplazará horizontalmente h posiciones en la dirección CONTRARIA a la indicada por h. Así, si h es -3, la parábola se desplazará 3 unidades hacia la derecha, y si h es 5, la parábola se desplazará 5 posiciones hacia la izquierda. Por otro lado, la parábola se desplazará hacia arriba o hacia abajo tantas unidades como indique k. Así, si k es 3, la parábola se desplazará 3 unidades hacia arriba, y si k es -4, la parábola se desplazará 4 unidades hacia abajo.

En el ejemplo de la gráfica, h = -2, y k = 1, así la parábola se desplaza 2 posiciones a la derecha y 1 hacia arriba, quedando su vértice en las coordenadas (-h, k) = (2,1).

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