Coloración de grafos

Una coloración de vértices para el grafo de Petersen utilizando tres colores, el número mínimo posible.

En Teoría de grafos, la coloración de grafos es un caso especial de etiquetado de grafos; es una asignación de etiquetas llamadas colores a elementos del grafo. De manera simple, una coloración de los vértices de un grafo tal que ningún vértice adyacente comparta el mismo color es llamado vértice coloración. Similarmente, una arista coloración asigna colores a cada arista tal que aristas adyacentes no compartan el mismo color, y una coloración de caras de un grafo plano a la asignación de un color a cada cara o región tal que caras que compartan una frontera común tengan colores diferentes. El vértice coloración es el punto de inicio de la coloración, y los otros problemas de coloreo pueden ser transformados a una versión con vértices. Por ejemplo, una arista coloración de un grafo es justamente una vértice coloración del grafo línea respectivo, y una coloración de caras de un grafo plano es una vértice coloración del grafo dual.

La convención de usar colores se origina de la coloración de países de un mapa, donde cada cara es literalmente coloreada. Esto fue generalizado a la coloración de caras de grafos inmersos en el plano. En representaciones matemáticas y computacionales se utilizan típicamente enteros no negativos como colores. En general se puede usar un conjunto finito como conjunto de colores. La naturaleza del problema de coloración depende del número de colores pero no sobre cuales son.

Historia

Los primeros resultados sobre coloración de grafos trataban exclusivamente sobre grafos planares en forma de coloración de mapas. Mientras intentaba colorear un mapa de Inglaterra, Francis Guthrie postuló la conjetura de los 4 colores, notando que 4 colores son suficientes para colorear el mapa tal que regiones que comparten un borde común no reciban el mismo color. El hermano de Guthrie pasa el problema a su profesor de matemáticas Augustus de Morgan en la universidad, mencionado en una carta a William Hamilton en 1852. Arthur Cayley envía el problema a la London Mathematical Society en 1879. algunos años después, Alfred Kempe publicó un paper que resolvía el problema y por una década el problema de los 4 colores se consideró resuelto. Por su contribución Kempe fue elegido Fellow de la Royal Society y posteriormente presidente de la London Mathematical Society.

En 1890, Heawood descubrió que el argumento de Kempe contenía un error, en ese paper él probó el teorema de los 5 colores, diciendo que cada mapa plano puede ser coloreado con, a lo más 5 colores, usando ideas de Kempe. En el siguiente siglo, nuevas teorías fueron desarrolladas para reducir el número de colores a cuatro, hasta que el teorema de los 4 colores fue finalmente probado en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken.

La coloración de grafos han sido estudiada como un problema algorítmico desde 1970: el problema del número cromático es el problema 21 de Karp NP-completo de 1972, y aproximadamente al mismo tiempo varios algoritmos de tiempo exponencial fueron desarrollados basados en backtraking y en la eliminación y MALA ntracción de Zykov (1949). Una de las mayores aplicaciones de la coloración de grafos es la asignación de registros en compiladores introducida en 1981.

Este grafo puede ser 3-coloreado de 12 formas diferentes.
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