Coeficiente binomial

Los coeficientes binomiales, números combinatorios o combinaciones[nota 1] son números estudiados en combinatoria que corresponden al número de formas en que se pueden extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Sin embargo, dependiendo del enfoque que tenga la exposición, se pueden usar otras definiciones equivalentes.

Definición combinatoria

, pues hay 10 formas de escoger (en rojo) tres objetos a partir de un conjunto con cinco elementos.

Se tiene un conjunto con seis objetos diferentes {A,B,C,D,E,F}, de los cuales se desea escoger dos (sin importar el orden de elección). Existen 15 formas de efectuar tal elección:

A,B A,C A,D A,E A,F
B,C B,D B,E B,F
C,D C,E C,F
D,E D,F
E,F

El número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto de n, puede denotarse de varias formas:[nota 2] , , , o . Así, en el ejemplo anterior se tiene entonces que C(6,2)=15, puesto que hay 15 formas de escoger 2 objetos a partir de un conjunto con seis elementos.

Los números C(n,k) se conocen como «coeficientes binomiales», pero es frecuente referirse a ellos como «combinaciones de n en k», o simplemente «n en k». Por tanto, la primera definición es:


El coeficiente binomial es el número de subconjuntos de k elementos escogidos de un conjunto con n elementos.

Es importante notar que la definición asume implícitamente que n y k son naturales, y que además k no excede a n. Podemos definir C(n,k)=0 si k>n, puesto que no es posible escoger más elementos que los que tiene el conjunto dado (por tanto hay cero formas de hacer la elección). Estas precisiones cobrarán relevancia más adelante cuando se discutan generalizaciones del concepto (por ejemplo, cuando n o k sean negativos o cuando no sean números enteros).

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