Clausura transitiva

La clausura transitiva o cierre transitivo de una relación binaria es la relación binaria más pequeña que siendo transitiva contiene al conjunto de pares de la relación binaria original. La clausura transitiva de una relación se denotada . En otras palabras, es la relación binaria que verifica:

  1. es transitiva
  2. Si es una relación transitiva tal que , entonces

Nótese que si es transitiva, entonces . Dada cualquier relación siempre existe su clausura transitiva.

Existencia y descripción

La clausura transitiva de una relación binaria siempre existe, es decir, dada cualquier relación binaria esta puede extenderse hasta que la relación extendida sea transitiva. Además la clausura transitiva que denotaremos aquí mediante admite una caracterización muy sencilla:

( 1)

Definiendo las potencias de inductivamente:

( 2)

La clausura transitiva se puede caracterizar como la unión generalizada:

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