Clasificación de discontinuidades

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Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Conceptos previos

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Considérese una función y= f(x), de variable real x, definida para todo valor de x excepto posiblemente para un cierto valor x= a. Es decir, f(x) está definida para x < a y para x > a. Definamos también:

Tendencia de una función

Considérese el concepto de tendencia de la función: f(x), en la proximidad de un punto: a, antes de emplear el concepto de límite, más formal.

Se dice que una función f(x) tiende a un valor c, cuando x tiende a a por la izquierda, si a medida que x toma valores más próximos a a, sin llegar nunca a ser a, e inferiores a a, el valor de la función f(x) se aproxima progresivamente a c, siendo c un número real, entonces se dice que la función converge por la izquierda en c, o que la función es convergente por la izquierda.

Si cuando x se aproxima a a, sin llegar al valor de a, y con valores inferiores a a, toma valores cada vez mayores, sin poder determinar un valor real que el valor de la función no pueda superar, se dice que la función tiende a infinito cuando x tiende a a por la izquierda, del mismo modo si cuando x se aproxima progresivamente a a, sin llegar a ser a y con valores inferiores a a, el valor de la función toma valores inferiores cada vez, sin poder determinar un número real mínimo que la función no pueda superar, se dice que la función tiende a menos infinito, cuando la variable tiende a a por la izquierda. En estos dos casos se dice que la función diverge cuando x tiende a a por la izquierda.

Si cuando la variable x toma valores progresivamente más próximos a a, pero distintos de a e inferiores a a, la función oscila entre un valor superior Ls y un valor inferior Li, siendo Ls el valor real más pequeño que la función no puede superar cuando x tiende a a por la izquierda, y Li es el valor más alto para el que la función permanece por encima cuando x tiende a a por la izquierda, se dice que la función oscila entre los valores Ls y Li cuando x tiende a a por la izquierda, y por lo tanto la función, en este caso no tiene límite.

Si para valores de x próximos a a, inferiores a a, no existe por no estar definida o por no existir ningún número real como resultado de f(x), se dice que f(x) no existe a la izquierda de a.

Por el mismo razonamiento se puede determinar la tendencia de la función f(x), cuando x tiende a a, sin llegar a ser a y con valores mayores que a, diciendo que x tiende a a por la derecha, con los mismos resultados que los obtenidos por la izquierda.

Según el caso que f(x) presente cuando x tiende a a por la derecha y por la izquierda y el valor de la función en el punto a: f(a), se podrá determinar la continuidad de la función en el punto a, o los distintos tipos de discontinuidad.

Límite de una función

El límite por izquierda en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores menores de a, como:

El límite por derecha en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores mayores de a, como:

Si estos dos límites en el entorno del punto a existen y son iguales se dice que la función tiene límite en este punto.

En cualquier otro caso se dice que la función no tiene límite en ese punto.

Límite superior y límite inferior

A pesar de que una función exista pero no tenga límite en un punto, podemos diferenciar un límite superior e inferior.

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Se dice que una función tiene límite superior por la izquierda, en un punto a, si existe una cuota superior: Ls, que el límite no supera cuando se aproxima a a por la izquierda:

Del mismo modo se dice que una función tiene límite inferior por la izquierda, en un punto a, si existe una cuota inferior: Li, por debajo de la cual el límite no puede estar cuando se aproxima a a por la izquierda:


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Se dice que una función tiene límite superior por la derecha, en un punto a, si existe una cuota superior: Ls, que el límite no supera cuando se aproxima a a por la derecha:

También se dice que una función tiene límite inferior por la derecha, en un punto a, si existe una cuota inferior: Li, por debajo de la cual el límite no puede estar cuando se aproxima a a por la derecha:


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Si el límite superior por la derecha y por la izquierda coinciden, se lo menciona sencillamente de límite superior, del mismo modo, si el límite inferior por la derecha y por la izquierda coinciden se lo menciona como el límite inferior.


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Pero esta coincidencia no tiene porque darse en todos los casos.

Función continua

Si una función tiene límite en un punto y su valor coincide con el valor de la función en ese punto, entonces la función es continua en ese punto:

en cualquier otro caso es discontinua en ese punto.

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