Cicloide

Cicloide generada por una circunferencia.

Una cicloide es el lugar geométrico originado por un punto de una circunferencia ( generatriz) al rodar sobre una línea recta ( directriz), sin deslizarse.

Historia

En la caldera izquierda del Pequod, con el jaboncillo dando vueltas diligentes a mi alrededor, fue cuando me sorprendió indirectamente el hecho notable de que en geometría todos los cuerpos que se deslizan a lo largo de la cicloide, como mi jaboncillo por ejemplo, descienden desde cualquier punto exactamente en el mismo lapso de tiempo.

La cicloide ha sido llamada «La Helena de los geómetras» ya que causó frecuentes disputas entre matemáticos del siglo XVII.[1]

Los historiadores de las matemáticas han propuesto varios candidatos como descubridores de la cicloide. El historiador matemático Paul Tannery citó un trabajo del filósofo sirio Jámblico como evidencia de que la curva era probablemente conocida en la antigüedad.[4]

Galileo acuñó el término cicloide y fue el primero en hacer un estudio serio de la curva.[14]

La construcción de la tangente de la cicloide data de agosto de 1638, cuando Mersenne recibió los métodos propios de Roberval, Pierre de Fermat y Descartes. Mersenne envió estos resultados a Galileo, quien a su vez se los dio a sus estudiantes Torricelli y Viviana, que fueron capaces de producir una cuadratura. Este resultado y otros fueron publicados por Torricelli en 1644,[14]

En 1658, Christopher Wren demostró que la longitud de la cicloide es igual a cuatro veces el diámetro de la circunferencia generatriz.

En 1696 el matemático Johann Bernoulli anunció a la comunidad matemática la solución al problema de la braquistocrona (curva que sigue el descenso más rápido cuando existe gravedad y que es objeto de estudio en el cálculo de variaciones), mostrando que la solución era una cicloide. Leibniz, Newton, Jakob Bernoulli y Guillaume de l'Hôpital, encontraron la solución del problema enunciado por Bernoulli. La cicloide se emplea para resolver el problema de la Tautócrona (descubierto por Christian Huygens), en el que si se desprecia el rozamiento y si se invirtiese una cicloide dejando caer un objeto por la misma, por ejemplo una bola, ésta llegará a la parte más baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida.

Entre los autores de demostraciones acerca de sus propiedades se encuentra el matemático René Descartes que obtuvo mediante razonamientos efectivos y elegantes la fórmula de la recta tangente en un punto cualquiera del arco de la cicloide, empleando técnicas que después desarrollaría como la ciencia de la geometría diferencial.

Como ya se ha señalado, debido a las continuas disputas entre los matemáticos del siglo XVII la cicloide ha sido denominada "La Helena de los Geómetras", aunque existen opiniones que mencionan que esta denominación poética podría hacer referencia a las bellas propiedades de esta curva, que atrajeron a los matemáticos de la época. En el año 1658 Blaise Pascal lanzó un desafío a los matemáticos proponiendo determinar la longitud de un arco de la cicloide así como su centro de gravedad y la superficie del volumen de revolución que engendra el área plana que barre el arco de cicloide al girar, ya sea en torno al eje de las abcisas, o en torno al eje de las ordenadas, o bien, en torno al eje de simetría del arco de cicloide. Fueron muchos los esfuerzos realizados en el siglo XVII para tratar de comprender esta curva y sus propiedades, tanto geométricas como físicas, que posteriormente han permitido desarrollar un gran número de aplicaciones industriales.

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