Categoría abeliana

Saltar a: navegación, búsqueda

En matemáticas una categoría abeliana es una categoría en la cual los morfismos tienen estructura de grupo abeliano, existen tanto núcleos y conúcleos y tienen propiedades deseables. El ejemplo usual de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos Ab. La teoría tiene su origen como un intento de unificar varias teorías de cohomologia por Alexander Grothendieck. Las categorías abelianas son categorías muy estables, por ejemplo son regulares y satisfacen el lema de la serpiente. La clase de categorías abelianas es cerrada bajo varias construcciones categóricas, por ejemplo la categoría de complejos de cadenas de una categoría abeliana o la categoría de funtores de una categoría pequeña abeliana es una categoría abeliana, estas propiedades estables son inevitables en álgebra homológica, está teoría tiene sus mayores aplicaciones en geometría algebraica, cohomología y teoría de categorías.

Definición

Una categoría C es abeliana si

Debido a un teorema de Peter Freyd, está definición es equivalente a la siguiente:

  • Una categoría es preaditiva si todos los conjuntos de homomorfismos son grupos abelianos, tiene objeto cero, y la composición de morfismos es bilineal.
  • Una categoría preaditiva es aditiva si todo par de objetos tiene un producto.
  • Finalmente, una categoría preaditiva es abeliana si todo monomorfismo y epimorfismo es normal. Esto significa que todo monomorfismo

es el núcleo de algún morfismo y que todo epimorfismo es el conúcleo de algún morfismo.

La estructura de grupo abeliano en cada conjunto de homomorfismos es una consecuencia de los tres axiomas de la primera definición, esto muestra la importancia fundamental de la categoría de grupos abelianos en la teoría y su naturaleza canonica.

El concepto de sucesión exacta surge de manera natural en este entorno y da lugar a el concepto de funtor exacto i.e. el funtor preserva sucesiones exactas, estos son los funtores que conciernen a las categorías abelianas. El concepto de exactitud ha sido axiomatizado en la teoría de categorías exactas formando un caso muy especial de categorías regulares.

Other Languages