Cardinalidad

En matemáticas, la cardinalidad de un conjunto es la medida del "número de elementos en el conjunto". Por ejemplo, el conjunto A = {2, 4, 6} contiene 3 elementos, y por tanto A tiene cardinalidad 3. Existen dos aproximaciones a la cardinalidad, una que compara conjuntos directamente usando biyecciones e inyecciones, y otra que utiliza números cardinales.[2]

La cardinalidad de un conjunto A usualmente se denota | A |, con una pleca en cada lado; esta es la misma notación que la del valor absoluto y el significado depende del contexto. Alternativamente, la cardinalidad de A se puede denotar por n(A), A, card(A), o # A.

Comparación de conjuntos

Mientras que la cardinalidad de un conjunto finito es simplemente el número de sus elementos, para extender la noción a conjuntos infinitos habitualmente se empieza definiendo la noción de comparación en conjuntos arbitrarios (en particular infinitos).

Función biyectiva de N en E. Aunque E es un subconjunto propio de N, ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad.

Definición 1: | A | = | B |

Dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si existe una biyección, esto es, una función inyectiva y suprayectiva, de A en B. Se dice que dichos conjuntos son equipotentes o equipolentes. Esta relación se puede denotar AB o A ~ B.
Por ejemplo, el conjunto E = {0, 2, 4, 6, ...} de números pares no negativos tiene la misma cardinalidad que el conjunto N = {0, 1, 2, 3, ...} de números naturales, ya que la función f(n) = 2n es una biyección de N sobre E.

Definición 2: | A | ≤ | B |

A tiene cardinalidad menor o igual que la cardinalidad de B si existe una función inyectiva de A en B.

Definición 3: | A | < | B |

A tiene cardinalidad estrictamente menor que la cardinalidad de B si existe una función inyectiva pero no biyectiva de A en B.
Por ejemplo, el conjunto N de los números naturales tiene cardinalidad estrictamente menor que la cardinalidad del conjunto R de los números reales, ya que la aplicación inclusión i : NR es inyectiva, pero se puede probar que no existe una función biyectiva de N en R (por ejemplo, a través del argumento de la diagonal de Cantor).

Si | A | ≤ | B | y | B | ≤ | A | entonces | A | = | B | (teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder). El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que | A | ≤ | B | o | B | ≤ | A | para todo A, B.[4]

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