Característica de Euler

En matemática, y en particular en topología algebraica, la característica de Euler o característica de Euler-Poincaré es un invariante topológico, un número definido que sirve para describir la forma o la estructura de una clase de espacios topológicos. Es denotada generalmente por (la letra griega Ji). La característica de Euler fue definida en un principio sólo para poliedros y sirvió para demostrar algunos teoremas como la clasificación de los sólidos platónicos. Su nombre se refiere a Leonhard Euler, que fue el responsable de los primeros resultados.

Característica de Euler en poliedros

La característica de Euler de un politopo de tres dimensiones ( poliedro) se puede calcular usando la fórmula siguiente:

donde V, A y C son los números de vértices, de aristas y de caras, respectivamente. En particular, para cualquier poliedro homeomorfo a una esfera tenemos


Por ejemplo, para un cubo tenemos 6 + 8 - 12 = 2 y para un tetraedro tenemos 4 + 4 - 6= 2. La fórmula anterior también se llama la fórmula de Euler, que se puede demostrar por inducción matemática o mapeos sobre una esfera.

Otros ejemplos se pueden encontrar en la siguiente tabla

Nombre Imagen Vértices
V
Aristas
A
Caras
C
Característica de Euler:
VA + C
Tetraedro Tetrahedron.png 4 6 4 2
Cubo Hexahedron.png 8 12 6 2
Octaedro Octahedron.png 6 12 8 2
Dodecaedro Dodecahedron.png 20 30 12 2
Icosaedro Icosahedron.png 12 30 20 2

Un poliedro que no sea homeomorfo a una esfera, como el Poliedro toroidal de la figura, que tiene 48 caras, 22 vértices y 70 aristas obtendremos 22 - 70 + 48 = 0.

Poliedro Toroidal de 48 caras

Tabla con las característica de Euler de otros poliedros

Nombre Imagen Vértices
V
Aristas
A
Caras
C
Característica de Euler :
VA + C
Tetrahemihexaedro Tetrahemihexahedron.png 6 12 7 1
Octahemioctaedro Octahemioctahedron.png 12 24 12 0
Cubohemioctaedro Cubohemioctahedron.png 12 24 10 −2
Gran Icosaedro Great icosahedron.png 12 30 20 2
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