Característica de Euler

En matemática, y en particular en topología algebraica, la característica de Euler o característica de Euler-Poincaré es un invariante topológico, un número definido que sirve para describir la forma o la estructura de una clase de espacios topológicos. Es denotada generalmente por (la letra griega Ji).La característica de Euler fue definida en un principio sólo para poliedros y sirvió para demostrar algunos teoremas como la clasificación de los sólidos platónicos. Su nombre se refiere a Leonhard Euler, que fue el responsable de los primeros resultados.

Característica de Euler en poliedros

La característica de Euler de un politopo de tres dimensiones (poliedro) se puede calcular usando la fórmula siguiente:

donde V, A y C son los números de vértices, de aristas y de caras, respectivamente. En particular, para cualquier poliedro homeomorfo a una esfera tenemos


Por ejemplo, para un cubo tenemos 6 + 8 - 12 = 2 y para un tetraedro tenemos 4 + 4 - 6= 2. La fórmula anterior también se llama la fórmula de Euler, que se puede demostrar por inducción matemática o mapeos sobre una esfera.

Otros ejemplos se pueden encontrar en la siguiente tabla

Nombre Imagen Vértices
V
Aristas
A
Caras
C
Característica de Euler:
VA + C
Tetraedro Tetrahedron.png 4 6 4 2
Cubo Hexahedron.png 8 12 6 2
Octaedro Octahedron.png 6 12 8 2
Dodecaedro Dodecahedron.png 20 30 12 2
Icosaedro Icosahedron.png 12 30 20 2

Un poliedro que no sea homeomorfo a una esfera, como el Poliedro toroidal de la figura, que tiene 48 caras, 22 vértices y 70 aristas obtendremos 22 - 70 + 48 = 0.

Poliedro Toroidal de 48 caras

Tabla con las característica de Euler de otros poliedros

Nombre Imagen Vértices
V
Aristas
A
Caras
C
Característica de Euler :
VA + C
Tetrahemihexaedro Tetrahemihexahedron.png 6 12 7 1
Octahemioctaedro Octahemioctahedron.png 12 24 12 0
Cubohemioctaedro Cubohemioctahedron.png 12 24 10 −2
Gran Icosaedro Great icosahedron.png 12 30 20 2
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