Campo gravitatorio

En física, el campo gravitatorio o campo gravitacional es un campo de fuerzas que representa la gravedad. Si se dispone en cierta región del espacio una masa , el espacio alrededor de M adquiere ciertas características que no disponía cuando no estaba . Este hecho se puede comprobar acercando otra masa m y constatando que se produce la interacción. A la situación física que produce la masa se la denomina campo gravitatorio. Afirmar que existe algo alrededor de es puramente especulativo, ya que sólo se nota el campo cuando se coloca la otra masa , a la que se llama masa testigo. El tratamiento que recibe este campo es diferente según las necesidades del problema:

  • En física newtoniana o física no-relativista el campo gravitatorio viene dado por un campo vectorial.
  • En física relativista, el campo gravitatorio viene dado por un campo tensorial de segundo orden.

Campo gravitatorio en la física clásica

Podemos asociar a cada punto del espacio el vector intensidad del campo gravitatorio creado en el por la presencia de una masa M. El conjunto de todos estos vectores en los distintos pontos del espacio constituye un Campo Gravitatorio.

En física newtoniana, el campo gravitatorio es un campo vectorial conservativo cuyas líneas de campo son abiertas. Puede definirse como la fuerza por unidad de masa que experimentará una partícula puntual situada ante la presencia de una distribución de masa. Sus dimensiones son, por lo tanto, las de una aceleración, aunque se suele utilizar fuerza por unidad de masa -que es equivalente- y expresarse en N/kg (newtons/kilogramo).

Matemáticamente, la intensidad del campo gravitatorio producido por una distribución de masas cualquiera se define como:

donde:

  • es una masa de prueba
  • es la fuerza gravitatoria que actúa sobre la masa de prueba


Campos gravitatorios

El campo creado por una masa puntual o por una esfera homogénea de masa en un punto exterior a la esfera está dirigido hacia su centro y viene dado por la expresión:

( 1)

donde es la distancia del punto al centro de la esfera. Esta ecuación (1), por la que el campo decrece según la ley de la inversa del cuadrado sólo es válida puntos exteriores a la esfera.

En el interior de la esfera se puede demostrar que el campo varía según una ley dependiente de la distribución de masa; así, para el caso de una esfera homogénea de radio , crece linealmente desde cero en el centro de la esfera hasta su superficie, donde vale:

( 2)

Cálculo del campo gravitatorio creado por una distribución continua de materia.

El campo creado por una distribución de masa totalmente general en un punto del espacio se determina mediante integración, sumando vectorialmente las aportaciones de porciones infinitesimales de masa:

( 3)

El interés de describir la interacción gravitatoria mediate un campo radica en la posibilidad de expresar la interacción gravitacional como el producto de dos términos, uno que depende del valor local del campo y otro una propiedad escalar que representa la respuesta del objeto que sufre la acción del campo. Por ejemplo, el movimiento de un planeta se puede describir como el movimiento orbital del planeta en presencia de un campo gravitatorio creado por el Sol.

Los campos gravitatorios son aditivos; el campo gravitatorio creado por una distribución de masa es igual a la suma vectorial de los campos creados por sus diferentes elementos constitutivos. El campo gravitatorio del Sistema Solar es el creado por el Sol, Júpiter y los demás planetas.

Líneas de fuerza

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Una línea de fuerza o línea de flujo, normalmente en el contexto del electromagnetismo, es la curva cuya tangente proporciona la dirección del campo en ese punto. Como resultado, también es perpendicular a las líneas equipotenciales en la dirección convencional de mayor a menor potencial. Suponen una forma útil de esquematizar gráficamente un campo, aunque son imaginarias y no tienen presencia física.

Potencial gravitatorio

La naturaleza conservativa del campo permite definir una magnitud, que se podría llamar energía mecánica, tal que la suma de la energía potencial y energía cinética del sistema es una cantidad constante. Esto implica que el trabajo realizado en el seno de un campo gravitatorio dependerá sólo de las posiciones final e inicial, y no de la trayectoria seguida (así, el trabajo realizado a lo largo de una superficie cerrada será nulo). Así a cada punto del espacio se le puede asignar un potencial Φ gravitatorio relacionado con la densidad de la distribución de masa y con el vector de campo gravitatorio por:

Circulación entre dos puntos de un campo de fuerzas centrales. El resultado no depende del camino seguido, sino tan solo de las posiciones de los dos puntos. En consecuencia, el campo de fuerzas centrales es conservativo.

Podemos demostrar matemáticamente de forma sencilla (y esto es extensible al campo eléctrico), que efectivamente el campo gravitatorio de la mecánica newtoniana es conservativo: Primero deberíamos notar un hecho matemático importante, y es que si un campo vectorial se puede expresar como gradiente de algún campo escalar , es decir, si entonces el trabajo realizado a lo largo de cualquier trayectoria depende sólo del estado final y el inicial. La función escalar se llama función potencial del campo vectorial . Para probar esto hay que integrar la fuerza a lo largo de una determinada curva , es decir, debe calcularse la integral de línea:

( *)

que, si y son los puntos en el espacio tridimensional con que empieza y acaba C respectivamente, y se designamos la función nos quedará

Llamando y . Ahora, partiendo de (*) ahora tenemos que

que con una simple inspección concluimos que es:

Ahora obtenemos pues . El escalar se llama energía potencial en x, y vemos que su suma con el escalar k(x) tiene que mantenerse constante, ha de ser la misma. En el caso del campo gravitatorio, tenemos que

con . El vector unitario de dirección puede ser puesto , así que:

Y este campo de fuerza es obviamente un gradiente de , que es la función potencial. Con esto queda pues demostrado que el campo gravitatorio es conservativo (la energía mecánica, en ausencia de otras fuerzas externas, ha de conservarse). La demostración para el caso del campo eléctrico es análoga con pocos matices (la fuerza puede ser atractiva o repulsiva, y cargas iguales se repelen, mientras que en el campo gravitatorio sólo hay atracción).

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