Camino aleatorio

Ejemplo de ocho caminos aleatorios en una dimensión empezando en 0. La gráfica muestra la posición actual sobre una línea (eje vertical) versus los intervalos de tiempo (eje horizontal).
Un ejemplo animado de un movimiento browniano-como camino aleatorio en un toro

La caminata aleatoria o paseo aleatorio o camino aleatorio, abreviado en inglés como RW (Random Walks), es una formalización matemática de la trayectoria que resulta de hacer sucesivos pasos aleatorios. Por ejemplo, la ruta trazada por una molécula mientras viaja por un líquido o un gas, el camino que sigue un animal en su búsqueda de comida, el precio de una acción fluctuante y la situación financiera de un jugador pueden tratarse como una caminata aleatoria. El término caminata aleatoria fue introducido por Karl Pearson en 1905.[9]​ En particular en este último campo la teoría del paseo aleatorio de Burton G. Malkiel en su obra Un paseo aleatorio por Wall Street se fundamenta en la hipótesis de los mercados eficientes, desarrollado en tres formas o hipótesis. En física el modelo ha servido, por ejemplo, para modelar el camino seguido por una molécula que viaja a través de un líquido o un gas ( movimiento browniano). En ecología, se emplea para modelar los movimientos de un animal de pastoreo, etc. Varios tipos diferentes de caminos aleatorios son de interés. A menudo, los caminos aleatorios se suponen que son cadenas de Márkov o proceso de Márkov, pero otros caminos más complicados también son de interés. Algunos caminos aleatorios se dan en grafos finitos, otros en la recta, en el plano, o en dimensiones mayores, mientras algunos caminos aleatorios se dan en grupos.


En su forma más general, las caminatas aleatorias son cualquier proceso aleatorio donde la posición de una partícula en cierto instante depende solo de su posición en algún instante previo y alguna variable aleatoria que determina su subsecuente dirección y la longitud de paso. Los caminos aleatorios también varían con respecto al tiempo. Casos específicos o límites de estos incluyen la caminata de un borracho, el vuelo de Lévy y el movimiento browniano. Los paseos aleatorios están relacionados con los modelos de difusión y son un tema fundamental en la discusión de los procesos de Márkov. Varias propiedades de los paseos aleatorios incluyen distribuciones dispersas, tiempos de primer cruce y rutas de encuentro.

Definición

Digamos que define una trayectoria que empieza en la posición . Un paseo aleatorio se modela mediante la siguiente expresión:

donde es la variable aleatoria que describe la ley de probabilidad para tomar el siguiente paso y es el intervalo de tiempo entre pasos subsecuentes. A medida que la longitud y dirección de un paso dado depende solo de la posición y no de alguna posición previa, se dice que el paseo aleatorio posee la Propiedad de Márkov. Comúnmente la distribución del paso será independiente de la posición o del tiempo transcurrido, una propiedad llamada homogeneidad. De cualquier modo, la formulación es extremadamente general. Los paseos aleatorios pueden ocurrir en cualquier número de dimensiones, ser parciales o imparciales, discretos o continuos en el tiempo y/o espacio, y pueden violar la homogeneidad en algún número de formas.

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