CW-complejo

En Topología y Geometría, un complejo celular o CW-Complejo es un tipo de espacio topológico que en cierta manera se asemeja a una variedad topológica. Son espacios muy utilizados en Topología (especialmente en Topología Algebraica) y en Geometría Diferencial. Las letras CW significan Closure finite-Weak topology , topología débil de clausura finita.

  • definición

Definición

Célula

En Topología se denomina célula a un espacio topológico que es homeomorfo a algún espacio euclídeo real. Es decir, existirá algún entero no negativo de manera que (donde representa la relación “ser homeomorfo a”). En ese caso se dirá que es una -célula, y que la dimensión de es (denotado por ).

Descomposición celular

Sea un espacio topológico. Se dice que el par es una descomposición celular de si es una partición de en células, es decir, cada elemento de es una célula, es la unión de todos los elementos de y dos elementos distintos de son disjuntos (si y , entonces ).

Todo espacio topológico admite alguna descomposición celular.

Dados un número entero positivo una descomposición celular de , se denomina conjunto de -células a la unión de todas las células de dimensión (es decir, a ). Se denomina así mismo -esqueleto al conjunto , es decir, a la unión de los conjuntos de -células, cuando .

Si existiese algún de forma que , diremos que tiene dimensión finita. En ese caso, al menor de forma que se le denomina dimensión de (). En caso contrario (es decir, si no es de dimensión finita) se dice que la dimensión de es infinita (). Como antes, en principio esta definición de dimensión no tiene ninguna relación con la definición algebraica de dimensión para espacios vectoriales. Sin embargo, se cumple que si es un espacio euclídeo real o un espacio normado, ambas definiciones son equivalentes.

Complejos celulares

Sea una descomposición celular. Se dice que es un complejo celular (o un CW-complejo, o un CW-espacio, o un espacio CW, o que es una CW-descomposición de , o que es una descomposición de tipo CW de ) si se cumple las siguientes condiciones:

  • Axioma M, o condición de la aplicación característica: Para cada célula existe una aplicación continua (denominada aplicación característica para la célula ) de tal forma que es un homeomorfismo entre y , y (donde aquí , , es decir, representa a la bola cerrada de centrada en le origen y de radio 1, , es decir, representa a la bola abierta de centrada en el origen y de radio 1 y es la esfera de centrada en el origen y de radio 1). A la restricción de a (esto es a ) se la denomina aplicación sujeción para la célula .
  • Axioma C, o condición de clausura finita: Dada una célula , su clausura está contenida en la unión de un número finito de células. Esto es, tiene intersección no vacía sólo con una cantidad finita de células.
  • Axioma W, o condición de topología débil: un conjunto es cerrado cuando y sólo cuando lo es (cerrado) en , cualquiera que sea la célula .
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