Círculos exinscritos

Círculos exinscritos.png

Sea ABC un triángulo (en verde en la figura). Tracemos sus lados, considerados como rectas (en negro). Las bisectrices interiores y exteriores (en rojo) se intersecan en cuatro puntos: uno es el centro del círculo inscrito (en pardo), y los demás son centros de los círculos exinscritos (en amarillo). Estos últimos están "inscritos" en el sentido de que son tangentes simultáneamente a los tres lados, y se hallan al exterior del triángulo, de ahí su apelación.

La demostración es la misma que en el caso del círculo inscrito. Tomemos por ejemplo la bisectriz interior en A las exteriores en B y C.

  • Primero constatamos que no pueden ser paralelas, porque los lados del triángulo no lo son.
  • En segundo lugar consideremos la intersección de las dos bisectrices procedentes de B y C. Este punto, A', es por definición equidistante de los lados (AB) y (CB) por una parte, y de (AC) y (BC) por otra, por lo tanto es equidistante de (CA) y (BA), luego pertenece a una bisectriz procediente de A. No puede ser la bisectriz exterior que se halla fuera del sector angular BAC mientras que A' está dentro, por lo tanto es la bisectriz interior.
  • El punto A' es equidistante de los tres lados (AB), (AC) y (BC). Sea d esta distancia común. Entonces el círculo de centro A' y de radio d es tangente a los tres lados.

Una curiosidad: las bisectrices interiores son las alturas del triángulo A'B'C', lo que permite hacer el camino inverso y volver a encontrar el triángulo inicial a partir de los tres círculos exinscritos.

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