Cálculo lógico

El cálculo lógico, o derivación lógica, es un algoritmo o sistema lógico que permite inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos.

La inferencia o deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado como -conclusión- a partir de otro(s) -premisa(s)- mediante la aplicación de reglas de inferencia.

Decimos que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.

Las personas en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo; partimos de enunciados empíricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos.

La lógica matemática, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar las reglas que permiten la transformación de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones deductivas en un cálculo riguroso y eficaz.

Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento, previa la simbolización adecuada de los enunciados en fórmulas o Expresiones bien formadas (EBF)[1]​ construimos un modelo dentro de un sistema deductivo que, referido al lenguaje ordinario, llamamos de Cálculo de deducción natural.

La representación gráfica de los símbolos (constantes lógicas) no está normalizada, lo que lleva a veces a ciertas dificultades de interpretación.

Sistematización de un cálculo

Reglas de formación de fórmulas

I.- Una letra enunciativa (con o sin subíndice) es una EBF (Expresión Bien Formada - en inglés wff o sea «well- formed formula» que significa «fórmula bien formada»).

II.- Si A es una fórmula, ¬ A también lo es.

III.- Si A es una EBF y B también, (A /\ B); (A \/ B); (A → B); (A ↔ B) también lo son.

IV.- Ninguna expresión es una fórmula del Cálculo sino en virtud de I, II, III.

Nota: A, B,... con mayúsculas están utilizadas como metalenguaje en el que cada variable expresa cualquier proposición, atómica o molecular.

Nota: Para la definición como función lógica de ¬, /\, \/, →, y ↔, véase Tabla de valores de verdad

Reglas de transformación

R.T.1: Dada una tesis EBF del cálculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del cálculo, será también una tesis EBF del cálculo. Y ello con una única restricción, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece y siempre por el mismo sustituto.

Veamos el ejemplo:

1 Regla de Transformación
2 donde  ; y donde
3 donde

O viceversa

1 Regla de Transformación
2 donde
3 donde  ; y donde

Esta regla recibe el nombre de regla de sustitución

R.T.2: Si X es una tesis EBF del sistema y lo es también X --> Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema.

Esta regla recibe el nombre de regla de separación

Sobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma:

lo que constituye un esquema de inferencia en el que de la verdad de las premisas A, B, N y su producto, podemos obtener la conclusión Y.

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