Cálculo de variaciones

El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable


Historia

El cálculo de variaciones se desarrolló a partir del problema de la curva braquistócrona, planteado inicialmente por Johann Bernoulli (1696). Inmediatamente este problema captó la atención de Jakob Bernoulli y el Marqués de L'Hôpital, aunque fue Leonhard Euler el primero que elaboró una teoría del cálculo variacional. Las contribuciones de Euler se iniciaron en 1733 con su Elementa Calculi Variationum ('Elementos del cálculo de variaciones') que da nombre a la disciplina.

Lagrange contribuyó extensamente a la teoría y Legendre (1786) asentó un método, no enteramente satisfactorio para distinguir entre máximos y mínimos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz también prestaron atención a este asunto.[2]

Problema Isoperimétrico

¿Cuál es el área máxima A que puede rodearse con una curva de longitud L dada? Si no existen restricciones adicionales, pudiendo la solución resulta ser:

Que es el valor que se obtiene para un círculo de radio .

Si se imponen restricciones adicionales la solución es diferente. Un ejemplo es si suponemos que L se considera sobre una función y los extremos de las curva están sobre los puntos donde la distancia entre ellos está dada. Es decir . El problema de hallar una curva que maximice el área entre ella y el eje x sería, hallar una función de modo que:

con las restricciones:

Braquistócrona

El problema de la curva braquistócrona se remonta a J. Bernoulli (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de al origen. Usando principios de mecánica clásica el problema puede formularse como,

donde g es la gravedad y las restricciones son, , . Hay que notar que en existe una singularidad.

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