Axioma de elección

En teoría de conjuntos, el axioma de elección (o axioma de escogencia), es un axioma que postula que para cada familia de conjuntos no vacíos, existe otro conjunto que contiene un elemento de cada uno de aquellos. De manera informal, afirma que dada una colección de «cajas» con objetos dentro de ellas, es posible elegir un objeto de cada caja. Que este procedimiento puede llevarse a cabo es trivialmente cierto siempre que dicha familia sea finita, o cuando existe una regla bien determinada que permite «elegir» un único elemento de cada conjunto de ella. Sin embargo, el axioma es indispensable en el caso más general de una familia infinita arbitraria.

Fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo, para demostrar que todo conjunto puede ser bien ordenado.[1] Aunque originalmente fue controvertido, hoy en día es usado sin reservas por la mayoría de los matemáticos. Hay aún, sin embargo, especialmente en la teoría de conjuntos, corrientes de opinión que rechazan el axioma o que investigan consecuencias de otros axiomas inconsistentes con él.

Enunciado

El enunciado del axioma de elección afirma que existe una función de elección para cada familia de conjuntos no vacíos, es decir, una función f tal que para cada conjunto B de su dominio, f(B) ∈ B. En la teoría de Zermelo-Fraenkel o similares, su enunciado formal es:

Axioma de elección

donde Fun f y Df denotan «f es una función» y el «dominio de f» en dicha teoría. El axioma de elección también se enuncia de maneras similares, en las que el siginificado de «función de elección» varía ligeramente:

Los enunciados siguientes son equivalentes:[2]

  • Toda familia de conjuntos no vacíos F posee una función de elección.
  • Para toda familia de conjuntos no vacíos F, su producto cartesiano es no vacío.
  • Para todo conjunto A, existe una función de elección sobre la colección de sus subconjuntos no vacíos.
  • Para toda familia de conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos, F, existe un conjunto D que contiene exactamente un elemento de cada conjunto de F: |DA | = 1, para cada AF.

Por el contrario, la negación del axioma de elección afirma que existe una familia de conjuntos —no vacíos— que no posee ninguna función de elección.

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