Armónicos esféricos

En matemáticas, los armónicos esféricos son funciones armónicas que representan la variación espacial de un conjunto ortogonal de soluciones de la ecuación de Laplace cuando la solución se expresa en coordenadas esféricas.

Los armónicos esféricos son importantes en muchas aplicaciones teóricas y prácticas, en particular en la física atómica (dado que la función de onda de los electrones contienen armónicos esféricos) y en la teoría del potencial que resulta relevante tanto para el campo gravitatorio como para la electrostática.

Introducción

Armónicos esféricos de variable real Ylm, para l =0,...,4 (de arriba a abajo) y m = 0,...,4 (de izquierda a derecha). Los armónicos con m negativo Yl-m son idénticos pero rotados 90º/m grados alrededor del eje Z con respecto a los positivos.

La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas viene dada por:


(véase también nabla y laplaciano en coordenadas esféricas). Si en esta expresión se consideran soluciones particulares de la forma, , la parte angular Y, se le denomina armónico esférico y satisface la relación:


Si a su vez se usa el método de separación de variables a esta última ecuación se puede ver que la ecuación anterior admite soluciones periódicas en las dos coordenadas angulares l es un número entero. Entonces la solución periódica del sistema anterior dependerá de los dos enteros (l, m) y vendrá dada en términos de funciones trigonométricas y de polinomios asociados de Legendre:

,


Donde se llama función armónica esférica de grado y orden , es el polinomio asociado de Legendre, es una constante de normalización y y representan las variables angulares (el ángulo polar o colatitud y azimutal o longitud, respectivamente).

Las coordenadas esféricas utilizadas en este artículo son consistentes con las utilizadas por los físicos, pero difieren de las utilizadas por los matemáticos (ver coordenadas esféricas). En particular, la colatitud , o ángulo polar, se encuentra en el rango y la longitud , o azimuth, posee el rango . Por lo tanto, es 0 en el Polo Norte, en el Ecuador, y en el Polo Sur.


Cuando la ecuación de Laplace se resuelve sobre un dominio esférico, las condiciones de periodicidad sobre la frontera en la coordenada así como las condiciones de regularidad en el "polo norte" y "sur" de la esfera, conllevan como se ha dicho que los números el grado l y el orden m necesarios para que se satisfagan deben ser enteros que cumplen: y .


Normalización

Existen varias normalizaciones utilizadas para las funciones de armónicos esféricos. En física y sismología estas funciones son generalmente definidas como

donde

Estas funciones están ortonormalizadas

,

donde δaa = 1, δab = 0 si a ≠ b, (ver delta de Kronecker). Mientras que en las áreas de geodésica y análisis espectral se utiliza

que posee una potencia unitaria

.

En temas de magnetismo, en cambio, se utilizan los armónicos de Schmidt semi-normalizados

poseen la siguiente normalización

.

Utilizando la identidad (ver Polinomios asociados de Legendre)

se puede demostrar que todas las funciones armónicas esféricas normalizadas mencionadas en los párrafos anteriores satisfacen

,

donde el símbolo * significa conjugación compleja.

Convención de fase de Condon-Shortley

Una fuente de confusión con la definición de los esféricos armónicos es el factor de fase de , comúnmente identificado como la fase de Condon-Shortley en la literatura relacionada con mecánica cuántica. En el área de mecánica cuántica, es práctica usual incluir este factor de fase en la definición de las funciones asociadas de Legendre, o acoplarlo a la definición de las funciones armónicas esféricas. No existe ningún requerimiento que obligue a utilizar la fase de Condon-Shortley en la definición de las funciones esféricas armónicas pero, si es que se la incluye, entonces algunas operaciones en el campo de la mecánica cuántica son más simples. Por el contrario en los campos de geodesia y magnetismo nunca se incluye el factor de fase de Condon-Shortley en la definición de los esféricos armónicos.

Definición matemática: Armónicos hiperesféricos

En matemáticas se usa una noción de armónico esférico más amplia que en física. Dado un polinomio P(x) homogéneo y armónico de grado m sobre se denomina armónico esférico de grado m a la función obtenida como restricción de P(x) a la (n-1)-esfera . Las funciones consideradas anteriormente son obviamente ejemplos de funciones armónicas, pero también son ciertas combinaciones lineales de los mismos. Para n > 3 la definción anterior permite definir armónicos hiperesféricos, que generalizan la definción a espacios de dimensión superior.

Si designa a todos las funciones armónicas de grado m, se pueden demostrar una serie de propiedades importantes:

  1. El espacio de funciones de cuadrado integrable sobre la n-esfera es suma directa de espacios anteriores
  2. Dados dos espacios y con , entonces esos dos espacios son ortogonales.
  3. La dimensión del espacio viene dada por:

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