Anillo local

En Álgebra abstracta, los anillos locales son ciertos anillos comparativamente simples y que sirven para describir el comportamiento local de las funciones definidas sobre variedades algebraicas o variedades diferenciables.

Definición y primeras consecuencias

R es un anillo local si cumple las siguientes propiedades equivalentes:

  • R tiene un único ideal por la izquierda maximal
  • R tiene un único ideal por la derecha maximal
  • 1≠0 y la suma de cualquier par elementos en R que no sean unidades no es tampoco una unidad
  • 1≠0 y si x es cualquier elemento de R, entonces x o bien 1-x es una unidad
  • Si una suma finita es una unidad, entonces también lo será alguno de sus sumandos.

Si se dan estas propiedades, entonces el único ideal por la izquierda maximal coincide con el único ideal maximal por la derecha y también con el Radical de Jacobson del anillo.

En el caso de anillos conmutativos no es necesario distinguir entre ideales a uno u otro lado, así que un anillo conmutativo es local si, y sólo si, tiene un único ideal maximal.

Algunos autores definen anillo local requeriendo que sea noetheriano siendo los no noetherianos llamados anillos cuasi-locales. Wikipedia no usará esta última definición de anillo local.

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