Anillo (matemática)

En álgebra moderna, un anillo es un sistema algebraico formado por un conjunto no vacío y dos operaciones internas, llamadas usualmente «suma» y «producto», que cumplen ciertas propiedades.

En términos más específicos, un anillo es una terna (A, +, •), donde A es un conjunto no vacío y + y • son operaciones binarias internas en A, en donde (A, +) es un grupo abeliano y • es una operación asociativa y distributiva bilátera respecto de +. Suele denominarse «suma» y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0 y el opuesto con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto A dado, se denota como –a.

El producto en un anillo no necesariamente tiene una operación inversa definida[1] , a diferencia de otras estructuras algebraicas como el cuerpo. Si el producto es conmutativo, tal anillo se denomina « anillo conmutativo». Además, si existe un elemento neutro para el producto, se dice que el anillo es unitario ya que, en este caso, se emplea el número 1 para designar al elemento neutro del producto.

Historia

La teoría de anillos surgió de la exploración de asuntos vinculados con la divisibilidad entre números enteros, del estudio simultáneo de divisibilidad de polinomios y hasta del caso de los cuerpos, concretamente, de los números racionales, números reales, números complejos y de los números algebraicos, de los cuaterniones, fracciones racionales y otros. En la etapa inicial, fueron las materias de la teoría de números y de la geometría algebraica las que propiciaron los conceptos de anillo, cuerpo e ideal. En su estructuración axiomatica , tales ideas fueron fruto del esfuerzo de Dedekind y otros matemáticos a fines del siglo XIX. Sus aplicaciones al análisis matemático muestran los enfoques modernos de algebrización de tal disciplina matemática, que ocurren recién en el segundo cuarto del siglo XX.[2]

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