Análisis multifractal

Un atractor extraño que exhibe escalado multifractal.

El análisis multifractal se usa para caracterizar sistemas dinámicos, procesos o construcciones geométricas, asignándoles una función llamada espectro multifractal o espectro de singularidad. De acuerdo con el análisis multifractal de ciertos sistemas o procesos multifractales, las estructuras se caracterizan a través de una gama de dimensiones fractales diferentes asociadas a una jerarquía de subconjuntos, cada uno de ellos de carácter fractal.

El análisis multifractal permite caracterizaciones más precisas de un proceso que involucra fractales, ya que es un hecho conocido que la dimensión fractal por sí misma no caracteriza una estructura fractal por completo, en el sentido de que dos conjuntos de la misma dimensión fractal pueden no ser ( bi-Lipschitz) equivalentes.

Introducción

Existen dos enfoques dentro del análisis multifractal:

  • Las medidas multifractales, donde el carácter multifractal no se asocia a ningún conjunto concreto sino al comportamiento de una medida finita definida sobre todo . La medida es multifractal cuando el conjunto cuya dimensión fractal local es precisamente , tiene una dimensión fractal diferente de la dimensión fractal local. Eso se usa cuando existe una medida natural que resulte natural para representar cierto proceso.
  • Los conjuntos multifractales, donde se considera un conjunto fijo pero se considera una familia uniparamétrica de dimensiones fractales diferentes. En este enfoque, el conjunto se considera multifractal cuando las diferentes dimensiones fractales del conjunto difieren pero en conjunto forman una función continua llamada espectro multifractal. Este enfoque se debe a que, aunque dos conjuntos que bi-Lipschitz equivalentes tienen la dimensión fractal, no es cierto que dos conjuntos de la misma dimensión fractal sean bi-Lipschitz equivalentes. Por tanto, una dimensión fractal por sí misma no caracteriza por completo a un conjunto.[1]

Conjuntos multifractales

Cuando se usa el enfoque de caracterizar un conjunto mediante una familia uniparamétrica de dimensiones, el conjunto multifractal se trata como una variedad topológica, frecuentemente un espacio métrico. Un conjunto multifractal, en ese sentido, es un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch excede a su dimensión topológica (, fractal "en el sentido de Mandelbrot"), pero cuyas dimensiones de Rényi superiores son diferentes de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch. En un conjunto multifractal, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch difiere de la dimensión de información y de la dimensión de correlación (que a su vez difieren entre sí).

Un objeto multifractal es más complejo que un fractal simple autoescalante de dimensión fractal constante. Si un fractal de dimensión constante está complemente descrito por su dimensión fractal o exponente fractal (y en parte por su lagunaridad), la caracterización de un objeto multifractal requiere especificar un espectro de exponentes (llamado también espectro de singularidad).

Cualquier reunión de conjuntos fractales por sí sola no puede considerarse un multifractal; para ello es necesario que estén coordinados de cierta manera. Como norma general, se exige que el espectro de singularidad sea una curva convexa. El objetivo es garantizar que tanto el conjunto como cada una de sus partes sean invariantes bajo transformaciones de cambio de escala.

Los objetos aproximadamente multifractales son comunes en la Naturaleza y aparecen en geofísica, hidrodinámica ( flujos turbulentos), astrofísica (evolución de las manchas solares) y cosmología (distribución de galaxias), así como en sistemas sociales (series temporales del mercado de valores).

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