Acotado

Relación homogénea Relación reflexiva Relación no reflexiva Conjunto preordenado Relación de dependencia Conjunto parcialmente ordenado Relación de equivalencia Orden total Acotado Orden total acotadoClasiBinaEs 004.svg
Acerca de esta imagen

El concepto de acotado aparece en matemáticas para referirse a una situación en la que para cierto objeto matemático o un objeto construido a partir del mismo puede establecerse una relación de orden con otro tipo de entidad llamada cota superior o inferior. Los detalles varían según el contexto por lo que se remite al cuerpo de este artículo para una definición precisa en cada caso.

Conjunto parcialmente ordenado y acotado

Dado un conjunto A y una relación binaria definida entre los elementos de A, que expresaremos y la relación se representa:

que se lee: x antecede a y.

La no relación se representa:

que se lee: x no antecede a y

Si la relación cumple las propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un conjunto parcialmente ordenado.

Si se cumple que:

el elemento x antecede a y o y antecede a x, se dice que x y y son elementos comparables.

Si se cumple que:

el elemento x no antecede a y e y no antecede a x, se dice que x e y son no comparables.

Diremos que el conjunto A está acotado superiormente respecto a si:

se cumple que existe un y de A tal que x antecede a y para todo x de A.

Del mismo modo diremos que el conjunto A está acotado inferiormente respecto a si:

se cumple que existe un z de A tal que z antecede a x para todo x de A.

Diremos que un conjunto está acotado, si está acotado superior e inferiormente.

Elemento maximal y minimal

Conjunto acotado A16.svg

Dado el conjunto A formado por los elementos:

en el que se ha definido una relación binaria representada en la figura, siendo un conjunto parcialmente ordenado, los elementos y de A que cumplen:

y de A es maximal si para todo x de A que cumple que y anteceda a x entonces y es igual a x.

Los elementos y de A se denominan maximales y definen una cuota superior en A, los elementos maximales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo b, a y f son maximales de A.

Del mismo modo los elementos z de A que cumplen:

z de A es minimal si para todo x de A que cumpla que x anteceda a z entonces z es igual a x.

se denominan minimales y definen una cuota inferior en A, los elementos minimales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo d, a y c son minimales de A.

Se puede ver que el elemento a es maximal y minimal en A

Elemento máximo y mínimo

Conjunto acotado A31.svg

Dado el conjunto A formado por los elementos:

en el que se ha definido una relación binaria representada en la figura, siendo un conjunto parcialmente ordenado.

El elemento y de A que cumple:

se denomina máximo y define una cuota superior en A, el elemento máximo es único, en el ejemplo f es el máximo de A. El elemento máximo de un conjunto es maximal en ese conjunto.

Del mismo modo el elemento z de A que cumple:

se denomina mínimo y define una cuota inferior en A, el elemento mínimo es único, en el ejemplo d es mínimo de A. El elemento mínimo de un conjunto es minimal en ese conjunto.

Galería de ejemplos

Dado un conjunto A, entre cuyos elementos, se ha definido una relación binaria que define un orden parcial, definido en las siguientes figuras, se pueden ver los distintos casos para determinar los maximales, minimales, maximos y mínimos de cada caso en caso de existir:

Conjunto acotado A16.svg Conjunto acotado A17.svg Conjunto acotado A18.svg Conjunto acotado A19.svg
maximales: b, a, f maximales: a, f maximales: a, f maximales: a, f
maximo: no existe maximo: no existe maximo: no existe maximo: no existe
minimales: d, a, c minimales: d, a, c minimales: d, c minimales: d, c
mínimo: no existe mínimo: no existe mínimo: no existe mínimo: no existe
Conjunto acotado A20.svg Conjunto acotado A21.svg Conjunto acotado A22.svg Conjunto acotado A23.svg
maximales: b, a, f maximales: a, f maximales: a, f maximales: a, f
maximo: no existe maximo: no existe maximo: no existe maximo: no existe
minimales: d, a minimales: d, a minimales: d minimales: d
mínimo: no existe mínimo: no existe mínimo: d mínimo: d
Conjunto acotado A24.svg Conjunto acotado A25.svg Conjunto acotado A26.svg Conjunto acotado A27.svg
maximales: b, f maximales: f maximales: f maximales: f
maximo: no existe maximo: f maximo: f maximo: f
minimales: d, a minimales: d, a minimales: d minimales: d
mínimo: no existe mínimo: no existe mínimo: d mínimo: d
Conjunto acotado A28.svg Conjunto acotado A29.svg Conjunto acotado A30.svg Conjunto acotado A31.svg
maximales: b, f maximales: f maximales: f maximales: f
maximo: no existe maximo: f maximo: f maximo: f
minimales: d, a minimales: d, a minimales: d minimales: d
mínimo: no existe mínimo: no existe mínimo: d mínimo: d
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