3-variedad

En topología de dimensiones bajas las 3- variedades son un campo que estudia variedades topológicas de tres dimensiones. Es decir espacios de Hausdorff que son localmente homeomorfos al espacio euclídeo .

Se sabe que en las categorías topológica, diferenciable y P.L. son todas equivalentes para el caso de 3-variedades, así que poca distinción se presta a qué categoría se está usando.

Esta parte de la matemática tiene una estrecha conexión con otros campos de estudio tales como las superficies, las 4-variedades, la teoría de nudos, las teorías de campo cuántico, las teorías de calibración y las ecuaciones en derivadas parciales. Se dice también que la teoría de 3-variedades es parte de la topología geométrica.

Una idea clave para estudiar estos objetos es considerar superficies encajadas en ellos. Esto conduce a la idea de superficie incompresible (incompressible surface) y la teoría de variedades de Haken, o uno puede elegirlas de tal modo que las piezas complementarias sean menos complejas, lo cual conduce a la noción de jerarquías o a la descomposición mediante cubos con asas o también llamadas descomposiciones de Heegaard.

Ejemplos sin frontera

Como primeras muestras de la gran variedad de objetos, pensemos en espacios compactos y sin frontera: Un primer ejemplo, la 3-esfera . Otro más es el espacio proyectivo . Es posible obtener espacios de tres dimensiones con el producto cartesiano:

O bien fibrados de la forma , donde es un orbifold: estos son los fibrados de Scott-Seifert. Indispensables para entender las modernas clasificaciones de las 3-variedades.

También tenemos los fibrados de las forma , siendo una superficie cerrada. Estos son fuente de ejemplos muy importantes.

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