Álgebra sobre un cuerpo

En matemáticas, un álgebra sobre un cuerpo K, o una K -álgebra, es un espacio vectorial A sobre K equipado con una noción compatible de multiplicación de elementos de A. Una generalización directa admite que K sea cualquier anillo conmutativo. Algunos autores[ cita requerida] utilizan el término "álgebra" como sinónimo de " álgebra asociativa".

Definiciones

Para ser exactos, sea un espacio vectorial sobre el cuerpo , y supongamos que existe una operación binaria definida entre vectores:

Tal que es bilineal y distributiva respecto a la suma, es decir, tal que para todo :

  1. (distributiva)
  2. (bilineal)

Entonces con esta operación, se convierte en un álgebra sobre y es el cuerpo base del álgebra . La segunda operación es el "producto por escalares". Sin embargo, la operación en varias clases especiales de álgebra toma diversos nombres:

Las álgebras también se pueden definir más generalmente sobre cualquier anillo unitario : necesitamos un módulo sobre y una operación bilineal de multiplicación que satisfaga las mismas identidades que arriba; entonces es una -álgebra, y es el anillo bajo . Dos álgebras y sobre son isomorfas si existe una K biyección - función lineal f: tal que f (xy) = f(x)f(y) para todo x, y en . Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas son idénticas; solamente se diferencian en la notación de sus elementos.

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