Álgebra de incidencia

Un conjunto parcialmente ordenado es localmente finito cuando cada intervalo cerrado [a, b] es finito. Para cada poset localmente finito y cada cuerpo de escalares hay un álgebra de incidencia, que es un álgebra asociativa definida como sigue. Los miembros del álgebra de incidencia son las funciones f que asigna a cada intervalo [a, b] un escalar f(a, b). En este conjunto subyacente se definen la adición y la multiplicación por escalar punto a punto, y la "multiplicación" en el álgebra de incidencia es una convolución definida por

El elemento identidad multiplicativa del álgebra de incidencia es

Un álgebra de incidencia es finito-dimensional si y solamente si el poset subyacente es finito.

La función ζ de un álgebra de incidencia es la función constante ζ(a, b) = 1 para cada intervalo [a, b]. Se puede mostrar que ese elemento es inversible en el álgebra de incidencia (con respecto a la convolución definida arriba). (Generalmente, un miembro h del álgebra de incidencia es inversible si y solamente si h(x, x) ≠ 0 para cada x.) El inverso multiplicativo de la función ζ es la función de Möbius μ(a, b); cada valor de μ(a, b) es un múltiplo integral de 1 en el cuerpo base.

Ejemplos

  • En caso que el poset localmente finito sea el conjunto de todos los números enteros positivos ordenados por divisibilidad, entonces su función de Möbius es μ(a, b) = μ(b/a), donde el segundo "μ" es la clásica función de Möbius introducida en teoría de números en el siglo diecinueve.
  • El poset localmente finito de todos los subconjuntos finitos de algún conjunto E están ordenados por inclusión. Aquí la función de Möbius es:
whenever S y T son subconjuntos finitos de E con ST.
  • La función de Möbius en el conjunto de números enteros no negativos con su orden usual es:
Estos corresponde a la secuencia (1, -1, 0, 0, 0...) de coeficientes de la serie de potencias formal de 1 - z, y la función ζ en este caso corresponde a la secuencia de los coeficientes (1, 1, 1, 1...) de la serie de potencias formal (1 - z)-1 = 1 + z + z² + z³ +.... La función δ en esta álgebra de incidencia corresponde similarmente a la serie de potencias formal 1.
  • Ordene parcialmente el conjunto de todas las particiones de un conjunto finito diciendo σ ≤ τ si σ es una partición más fina que τ. Entonces la función de Möbius es:
donde n es el número de bloques en la partición más fina σ, r es el número de bloques en la partición más gruesa τ, y ri es el número de bloques de τ que contiene exactamente i bloques de σ.
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