Álgebra de Lie

En matemática, un álgebra de Lie es la estructura algebraica definida sobre un espacio vectorial, asociada usualmente a los grupos de Lie y usadas en el estudio geométrico de esos los propios grupos y de otras variedades diferenciables. El término "álgebra de Lie" (referido a Sophus Lie) fue creado por Hermann Weyl en la década de 1930, para lo que se denominaba "grupo infinitesimal".

Si un grupo de Lie puede interpretarse en física como un grupo de transformaciones sobre una variedad diferenciable el álgebra de Lie físicamente puede concebirse como un conjunto de transformaciones infinitesimales.

Definición

Un álgebra de Lie es un espacio vectorial sobre un cierto cuerpo junto con una operación binaria [·, ·]: , llamada corchete de Lie, que satisface las propiedades siguientes:

  • es bilineal, es decir, [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] y [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] para todo a, b en y todo x, y, z en .
  • satisface la identidad de Jacobi, es decir, [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 para todo x, y, z en .
  • [x, x] = 0 para todo x en .

Observe que la primera propiedad y la tercera juntas implican [x, y] = − [y, x] para todo x, y en ("anti-simetría") si el cuerpo es de característica diferente de dos. Observe también que la multiplicación representada por el corchete de Lie no es, en general, asociativa, es decir, [[x, y], z] no necesariamente es igual a [x, [y, z]].

Ejemplos

  • Cada espacio vectorial se convierte en un álgebra de Lie abeliana trivial si definimos el corchete de Lie como idénticamente cero.
  • El espacio euclídeo se convierte en un álgebra de Lie con el corchete de Lie dado por el producto vectorial.
  • Si se da un álgebra asociativa A con la multiplicación * , se puede dar un álgebra de Lie definiendo [xy] = x * y − y * x. esta expresión se llama el conmutador de x e y.
  • Inversamente, puede ser demostrado que cada álgebra de Lie se puede sumergir en otra que surja de un álgebra asociativa de esa manera.
  • Otro ejemplo importante viene de la topología diferencial: los campos vectoriales en una variedad diferenciable forman un álgebra de Lie de dimensión infinita. Estos campos vectoriales actúan como operadores diferenciales sobre las funciones diferenciables sobre la variedad. Dados dos campos vectoriales X e Y, el corchete de Lie se define como:

y puede comprobarse que este operador corresponde a un campo vectorial. Las generalizaciones adecuadas de la teoría de variedades al caso de dimensión infinita muestra que esta álgebra de Lie es ala asociada (ver siguiente punto) al grupo de Lie de los difeomorfismos de la variedad.

  • En el caso de una variedad que sea un grupo de Lie a su vez, un subespacio de los campos vectoriales queda inalterado por las transformaciones dadas por el propio grupo, en el sentido de que en cada punto del mismo, el campo no es más que:

Este subespacio es de dimensión finita (e igual a la del grupo), dado que se corresponde con el espacio tangente en la identidad. Además hereda la estructura de álgebra de Lie definida en el punto anterior, y se le denomina el álgebra de Lie asociada al grupo .

  • Como ejemplo concreto, consideremos el grupo de Lie SL(n, R) de todas las matrices con valores reales y determinante 1. El espacio tangente en la matriz identidad se puede identificar con el espacio de todas las matrices reales con traza 0 y la estructura de álgebra de Lie que viene del grupo de Lie coincide con el que surge del conmutador de la multiplicación de matrices.
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