Álgebra de Heyting

En matemáticas, las álgebras de Heyting (creadas por Arend Heyting) son conjuntos parcialmente ordenados especiales que generalizan las álgebras de Boole. Las álgebras de Heyting se presentan como modelos de la lógica intuicionista, una lógica en la cual la ley del tercero excluido no vale, en general. Las álgebras completas de Heyting son un objeto central de estudio en topología sin puntos.

Definiciones formales

Un álgebra de Heyting H es un reticulado acotado tal que para todo a y b en H hay un mayor elemento x de H tal que a ^ xb. Este elemento se llama el seudo-complemento relativo de a con respecto a b, y es denotado a=>b (o ab).

Una definición equivalente puede ser dada considerando las funciones fa: HH definidos por fa(x) = a^x, para algún a (fijo) en H. Un reticulado acotado H es un álgebra de Heyting si y sólo si todas las funciones fa son el adjunto inferior de una conexión de Galois monótona. En este caso los adjuntos superiores respectivos ga son dados por ga(x) = a=>x, donde => se define como arriba.

Un álgebra completa de Heyting es un álgebra de Heyting que es un reticulado completo.

En cualquier álgebra de Heyting, uno puede definir seudo-complemento ¬x de un cierto elemento x haciendo ¬x = x=>0, donde 0 es el menor elemento del álgebra de Heyting.

Un elemento x de un álgebra de Heyting se llama regular si x = ¬¬x.

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